imtoken安卓版|topsis和层次分析法区别

作者： imtoken安卓版

2024-03-16 11:13:28

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数学建模day1 层次分析法与TOPSIS方法-CSDN博客

数学建模day1 层次分析法与TOPSIS方法

最新推荐文章于 2023-01-18 13:15:34 发布

予山

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概念：

层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称 AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法

一、步骤

1、建立递阶层次结构模型

2、构造出各层次中的所有判断矩阵

3、层次单排序及一致性检验

4、层次总排序及一致性检验

二、递阶层次的建立与特点

1、分层：

（1）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标和理想结果。

（2）中间层：这一层次中包含为了实现目标所涉及的中间环节，主要是一些考虑指标和一些准则。

（3）最底层：这一层次中包含为了实现目标可供选择的各种方案。

2、注意点：

一般不要1层不要超过9个因素

3、一个demo

是三个旅游景点

二、构造判断矩阵

由于准则层中的各准侧的权值可能不同，所以应该设置一个权重。

1、比较判别矩阵的元素意义

设现在要比较n个因子对某因素Z的影响大小，采用两两比较建立比较判别矩阵，xi与xj对Z的影响之比为aij。然后反过来xj与xi的影响之比为aji=1/aij。

2、比较判别矩阵的定义

3、关于比较判别矩阵元素的确定

使用数字1-9以及其倒数作为标度。

三、层次单排序及一致性检验

1、原理

判断矩阵A对应于最大特征值得特征向量W，经归一化即为同一层次相应元素对于上一层次元素相对重要性的排序权值。称为层次单排序

因此，我们通过来检验A是否为一致矩阵，当比n大的越多，A的非一致性程度也就越严重，所以我们可以通过这种方法来检验一致性。

2、步骤

（1）计算一致性指标CI

（2）查询平均随机一致性指标RI，对应n=1到9，RI值分别为

这是通过随机的方法生成的一组标准指标。

（3）计算一致性比例CR

当CR<0.1，认为矩阵的一致性是可以接受的。

四、层次总排序及一致性检验

1、说明

（1）A为上一层次（高的层次），B为当前层次

（2）a1,a2,a3……am为A层次的总排序权重。

（3）b1j……bnj是B层对Aj的单排序权重。

（4）从最高层到最底层

现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b1,b2……bn。就按照上图中的方法进行计算。

2、然后对于层次总排序也要进行一致性检验。

当CR<0.10，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。

（二）层次分析法的应用

1、准则层的排序矩阵

2、方案层的排序矩阵

3、层次排序总结果

所以最满意的工作是1。

一、TOPSIS方法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法 TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

本部分的代码讲解部分参照第二篇博客：评价类模型——TOPSIS法（优劣解距离法）matlab代码实现学习笔记（二）

例题1：请你为以下四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

分析：此评价指标只有一项即“成绩”，评价对象为4个。topsis分析方法如下：

解：

1.取指标成绩中，最高成绩max ： 99 最低成绩min：60

构造计算评分的公式：

2.根据评分公式为每一评价对象进行打分，构建如下评分表格、并归一化

3.打分完成，接下来可以由评分确定谁的成绩最好，谁的最差。可见，清风的成绩最好，小王的最差

例题2：请你为以下四名同学进行评分，该评分能合理的描述其综合评价。

分析：例题1考虑的评价指标只有一个，例题2转化为两个评价指标，且评价时指标一（成绩）应该越大越好，指标二（与他人争吵次数）应该越小越好。这就引发矛盾，怎么确定评分使得兼顾两种不同取向的指标？

注：成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

与他人争吵的次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

解：

1.将所有的指标转化为极大型指标，即指标正向化。

极小型指标转换为极大型指标的公式：max-x

正向化后得到的表格如下：

2. 为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

标准化处理的计算公式

即每个元素除以其所在列各元素平方和的开方

3. 计算评分

首先看一下，两个指标的评分公式怎么推导的

类比只有一个指标计算得分

即：取各列元素的最大值，组成一个列向量Z+，取各列元素的最小值，组成一个列向量Z-，计算每列元素与最大值组成的列向量Z+的距离D+，与最小值组成的列向量Z-的距离D-，在根据评分公式：D-/(D+ + D-）为每个对象进行打分。

根据上面的评分公式，为各评价对象进行打分

4.打分完成，进行数据分析

由综合评分可以看出，小王的评分最高，其成绩和与他人争吵次数的综合评价指标中是最好的；清风最差，即使其成绩是最好的，但是在与他人争吵的评分这项指标中，其与他人差别过大，此项导致其综合评分最低，由此可见指标二的评分在整个评分中作用更关键。

二、其他指标正向化方法

前面介绍了评价指标只有一种、以及评价指标有两种，且一种是极小型指标的例子。在例题二中，极小型指标要转化为极大型指标才能参与运算，常见的还有其他两种非极大型指标：中间型和区间型指标。下面介绍其如何转为极大型，即指标正向化。

1）、中间型指标 ——>极大型指标

例如：水质量评估 PH 值指标正向化，PH值取7时水质最好

2）、区间型指标——>极大型指标

例如：例如人的体温在36摄氏度~37摄氏度这个区间内最好

可以看出，在区间内的36.6度评分最高为1，距离其越远的评分越低

三、TOPSIS方法总结

1、如果有多个指标且不全是极大型指标，则进行指标正向化。

2、之后对正向化矩阵进行标准化，目的是消除不同指标量纲的影响。

正向化方法：

3. 计算得分

4.归一化评分

即每个分数除以所有分数和

综合例题4：评价下表中A-T共20条河流的水质情况

已知：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10-20之间最佳，超

过20或低于10均不好。

解：1、将各项指标正向化

PH值（中间型转极大型）、细菌总数（极小型转极大型）、植物性营养物量（区间型转极大型）

2、正向化后的矩阵进行标准化

3、进行打分（20个评价对象，4个评价指标）

4、分数归一化

5、分析评分，最高得分的河流水质最好

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数学建模day1 层次分析法与TOPSIS方法

概念：层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称 AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法一、步骤1、建立递阶层次结构模型2、构造出各层次中的所有判断矩阵3、层次单排序及一致性检验4、...

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topsis分析法 MATLAB 层次分析法

09-01

分别应用TOPSIS法和层次分析法对某医院医疗质量作出合理的评价，并对两种方法进行比较。方法选择有明确意义、有

较强代表性的医疗指标应用TOPSIS法和层次分析法进行综合评价。结果2007年医疗质量最好，其次2006年，第三是2005年，2003年

医疗质量最差。评价结果与实际情况相符。结论TOPSIS法计算简便、快速、实用，而层次分析更具有全面、准确、科学性。统计工作者

可根据掌握的信息资料和医院管理对评价的要求，选择最恰当的统计方法，使综合评价的医疗质量在医院管理中更具有价值。

评价模型（一）层次分析法（AHP）,熵权法，TOPSIS分析及其对应 PYTHON 实现代码和例题解释

数学建模笔记——评价类模型之TOPSIS - 知乎

数学建模笔记——评价类模型之TOPSIS - 知乎首发于数学建模笔记切换模式写文章登录/注册数学建模笔记——评价类模型之TOPSIS小白好的，今天继续研究评价类模型的相关算法。实不相瞒，虽然我才写到第二个算法，但是已经听了几十节课了，清风老师的课程确实蛮不错的，实用性比较强。相关的模型、算法基本上越往后越难，所以珍惜现在比较容易理解的评价类模型吧hhh。在这里要说明一下，小白本白只是一个即将大三的本科生，目前比较容易理解的模型我还能写得完整一些。之后很多模型会涉及较为复杂的数学推导，我可能很难完整地从原理去描述了，只能着重于实际应用方面。请各位谅解啦。ok，我们继续学习评价类模型算法。（注：以下案例均来自我所听的网课）回顾上一篇文章我们介绍了一个简单又实用的评价打分方法——层次分析法。同时我们也提到了，层次分析法有一些缺陷之处。首先就是主观性较强，层次分析法往往是专家用来打分的方法，但建模比赛中没有专家，判断矩阵只能我们自己填；其次，当指标或者方案层数量较多时，我们两两比较得出的判断矩阵和一致矩阵可能会出现较大的差异（想一想你的心理预期，有多符合那个乘法关系），判断矩阵的填写也会比较麻烦（例如要问C_{20}^2次问题）；再者，层次分析法往往用于没有相关数据的问题，我们的打分也是按照判断矩阵给出的，如果已经有了数据，再主观打分就不太合适了。看看这个题目给出A—T二十条河流的水质指标及具体数据，请建立合适的模型，给这些河流的水质从高到低排排序。嗯，现在再用层次分析法，是不是就不太合适了……TOPSIS算法TOPSIS算法是解决上述问题的一个比较合适的算法，其全称是Technique\ for\ Order\ Preference\ by\ Similarity\ to\ an\ Ideal\ Solution，通俗的翻译则是“优劣解距离法”。这个翻译可以说是指向了此算法的本质，我们接下来慢慢谈。我们依然从一个简单的问题入手。小明同学考上南大之后，不知不觉就迎来了第一次高数考试，他及其舍友的分数如下。现在我们要根据他们的成绩，给他们进行打分，要求分数可以合理地表达其成绩的高低。hhh可能会有人觉得这个问题比较奇怪，成绩本身就可以作为所谓的分数了，实在不行我们还有GPA，怎么还要打分？因为这只是一个例子，事实上在许多实际问题中，我们只有数据，例如上面水质问题的含氧量，PH值，并没有这样一个分数。再者，实际问题中有很多的指标，其量纲经常不同，但我们需要通过这些数据得出一个综合的分数。因此我们很有必要对数据进行一定的处理，同时找到一个综合打分的方法。所以我们有一个很直接的想法，就是对分数进行归一化处理，例如清风的最后得分就是\frac {99}{89+60+74+99} = 0.307。嗯，这个想法很合理。即一个人的成绩占总成绩的比重，就可以作为这个人在总体中的得分。但是注意了，这里只有一个指标，所以我们可以直接用这个得分作为排序标准。如果还有一些指标，同样进行类似的操作，实际上就相当于我们对数据进行了处理，消去了量纲的影响罢了。结果就是，一番操作过后，留给我们的仍然是一个得分表格，只不过里面是已经被处理过的数据，但还是没能给出排名。这里提出一个小问题，我们把PH值作为衡量水质的一个标准，其范围是0~14，PH=7时最好，所以PH=7时相关指标得分应该最高。这时候就不能像成绩那样，直接求和算比重了吧，那应该怎么处理呢？ok，我们继续。上述的操作只是对数据进行了处理，我们还是需要一个打分的标准。有同学就会想到，赋权，然后打分。这就回到了我们层次分析法的内容。还是那些问题，主观性比较强，指标太多时操作起来不准确且麻烦，对数据的利用不充分等等。这里就可以引入TOPSIS的想法了。事实上我们的目的是对方案给出一个排序，只要数据有了，我们就可以根据这些数据，构造出一个所有方案组成的系统中的理想最优解和最劣解（我感觉最劣解和理想不搭，就直接用最劣解称呼吧）。而TOPSIS的想法就是，我们通过一定的计算，评价系统中任何一个方案距离理想最优解和最劣解的综合距离。如果一个方案距离理想最优解越近，距离最劣解越远，我们就有理由认为这个方案更好。那理想最优解和最劣解又是什么呢？很简单，理想最优解就是该理想最优方案的各指标值都取到系统中评价指标的最优值，最劣解就是该理想最劣方案的各指标值都取到系统中评价指标的最劣值。这么说可能不是很清楚，举个例子。如果我们只有一个指标，例如上图中的成绩，那么理想最优解就是99分，注意，不是满分100分，理想最优解中的数据都是各方案中的数据，而不要选择方案中没有的数据。不然如果是GDP这种上不封顶的指标，理想最优取值岂不是正无穷了……同理，该系统中的最劣解是60。那如果有两个指标呢？例如我们引入一个“与他人争吵的次数”，用来衡量情商，给出相应的数据表格。按照我们的一般想法，与他人争吵的次数应该是越小越好，所以我们可以用向量表达这个系统中的理想最优解，也就是[99,0]，取清风的成绩和小王的争吵次数，最劣解就是[60,3]，取小王的成绩和清风的争吵次数。现在我们知道了如何取得理想最优解和最劣解，那如何衡量某一个方案与理想最优解和最劣解的综合距离呢？TOPSIS用下面一个表达式进行衡量：\frac {某一方案 - 最劣解}{理想最优解 - 最劣解}。可以发现，如果方案取到了理想最优解，其表达式取值为1；如果方案取到了理想最劣解，其表达式取值为0。我们便可以用这个表达式来衡量系统中某一个方案距离理想最优解和最劣解的综合距离，也直接用它给方案进行打分。相信到这里大家对于TOPSIS的基本思想已经差不多理解了，之后就是实际操作的问题了。我们都知道，“方案 - 最劣解”这种东西只是方便理解，确实也是我编出来的，实际中方案根本不能做差。所以我们只能用数据来求出这么一个距离。对于某一个指标的数据，我们可以用\frac {x-min}{max-min}来衡量综合距离。如果只有成绩这一个指标，其计算很简单，例如清风的得分就是\frac {99-60}{99-60}=1，其余人的成绩可以依次给出。对于“争吵次数”这个指标，清风的得分可以是\frac {3-3}{0-3}=0，虽然也能计算，但其分母是个负值，还是不太习惯。那如果对于PH值，7是最优解，0和14哪一个看成最劣解用于计算呢？亦或者如果某个指标处在10~20之间最佳，那最优解最劣解又如何衡量呢？这便是我们遇到的问题。除此之外，由于数据的量纲不同，在实际的计算过程中也会出现这样或者那样的问题，因此我们也有必要对于原数据进行相关的处理。首先，我们解决第一个问题，有些指标的数据越大越好，有些则是越小越好，有些又是中间某个值或者某段区间最好。我们可以对其进行“正向化处理”，使指标都可以像考试分数那样，越大越好。我们可以把指标分为四类，如下表所示。所谓的正向化处理，就是将上述的四种指标数据进行处理，将其全部转化为极大型指标数据，这样我们计算时问题就少一点，码代码时也更加统一。对于极小型指标，例如费用，争吵次数，我们可以用\hat x_i=max-x_i将其转化为极大型，如果所有元素都为正数，也可以使用\hat x_i= \frac {1}{x_i}。示例如下。对于中间型指标，如果其最佳数值是x_{best}，我们可以取M=max\{|x_i - x_{best}|\}，之后按照\hat x_i = 1 - \frac {x_i - x_{best}}{M}，示例如下。对于区间型指标，如果其最佳区间是[a,b]，我们取M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i\}-b\}，之后按照进行转化，示例如下。至此，我们已经将所有的数据都转化为极大型数据了，可以很好地使用\frac {x-min}{max-min}来进行打分。但是为了消除不同的数据指标量纲的影响，我们还有必要对已经正向化的矩阵进行标准化。在概率统计中，标准化的方法一般是\frac {X-EX}{\sqrt {DX}}，不过这里我们不采用。我们记标准化后的矩阵为Z，其中z_{ij}=\frac {x_{ij}}{\sqrt {\sum_{i=1}^n {x_{ij}}^2}}，也就是\frac {每一个元素}{\sqrt {其所在列的元素的平方和}}。现在我们已经对数据进行了相应的处理，可以计算每一个方案的的得分了，也就是所谓的距离。由于我们一个方案具有多个指标，因此我们可以用向量z_i来表达第i个方案。假设有n个待评价的方案，m个指标，此时z_i=[z_{i1},z_{i2},...,z_{im}]。由这n个向量构成的矩阵也就是我们的标准化矩阵Z了。（实在是打不好这个样子……）之后我们就可以从中取出理想最优解和最劣解了，经过了正向化处理和标准化处理的评分矩阵Z，里面的数据全部是极大型数据。因此我们取出每个指标，即每一列中最大的数，构成理想最优解向量，即z^+\ =\ [z_1^+,z_2^+,...,z_m^+]=\\ \ [max\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...,max\{z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}\}]。同理，取每一列中最小的数计算理想最劣解向量，z^-\ =\ [z_1^-,z_2^-,...,z_m^-]=\\\ [min\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...,min\{z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}\}]。(z^+就是z_{max}，z^-就是z_{min})现在我们可以计算得分了，之前我们的计算公式是\frac {z_i-z_{min}}{z_{max}-z_{min}} \ 也就是\ \frac {z_i-z_{min}}{(z_{max}-z_i)+(z_i-z_{min})}，嗯，我们变形成了·\frac {z与z_{min}的距离}{z与z_{max}的距离\ +\ z与z_{min}的距离}。为什么要这样变形呢？因为大家都是这么用的……好吧，其实我们接下来是使用欧几里得距离来衡量两个方案的距离，变形前后分母的计算结果其实是不同的。我个人认为这样变形更有利于说明问题，即我们衡量的得分是考虑到某个方案距离最优解和最劣解的一个综合距离。不然的话，所有方案计算得分时分母都是相同的，相当于只衡量了分子，也就是距离最劣解的距离。那应该还是采用综合衡量的方式会好一点儿吧，你觉得呢？嗯，我就默认大家都同意这个说法了。我们继续计算得分，对于第i个方案z_i，我们计算它与最优解的距离d_i^+\ =\ \sqrt {\sum_{j=1}^m (z_j^+\ - z_{ij})^2 }，与最劣解的距离为d_i^-\ =\ \sqrt {\sum_{j=1}^m (z_j^-\ - z_{ij})^2 }。我们记此方案的得分为S_i，则S_i = \frac {d_i^-}{d_i^+\ +d_i^- }，也可以理解为我们上文一直在说的综合距离。很明显，0 \le S_i \le 1，且d_i^+越小，也就是该方案与最优解的距离越小时，S_i越大；d_i^-越小，也就是该方案与最劣解的距离越小时，S_i越小。这种计算方式同时考虑了该方案与最优解和最劣解的距离。这个时候我们就有了每个方案的分数了，按分数排排序，就知道哪个方案好一点儿哪个方案次一点儿了。还可以按照这个得分再进行一次归一化，不过我觉得没什么必要了。嗯，基本部分讲完啦。总结总结一下。使用TOPSIS算法的一个先决条件就是要有数据，最好全部是定量数据，如果是定性数据或者定序数据，但能够分别优劣，也可以按照定量数据来处理。之后就开始操作: a.将原始数据矩阵正向化。也就是将那些极小性指标，中间型指标，区间型指标对应的数据全部化成极大型指标，方便统一计算和处理。b.将正向化后的矩阵标准化。也就是通过标准化，消除量纲的影响。c.计算得分并排序。公式就是S_i = \frac {d_i^-}{d_i^+\ +d_i^- }。这次好像还没有给一个完整的解题过程，嗯，我就把PPT里的小案例放在这里供大家参考。这是原始数据矩阵我们对其进行正向化我们再对其进行标准化最后计算得分给出排名嗯，这个例子告诉我们，成绩很重要，但是情商更重要hhh。小王虽然只考了60分，但也及格了，而且他从不与人争吵，所以我们可以给他一个最好的评价hhh。其实我们可以看到TOPSIS的一个特点，即它使用理想最优解和最劣解作为评判方案的依据时，实际上就是在方案的系统内部进行评价，这样的评价手段也可以更好的表达出系统中方案与方案之间的差距,也比较充分地利用了数据所包含的信息。（我随便编的，别信）拓展TOPSIS是不是又简单又实用呢？其实我们还可以进行一点点儿的拓展，不想打字了，看下图。我们可以看到，在计算距离时，我们其实默认每个指标的权重是相同的，但实际问题中，不同的指标重要程度可能是不一样的。例如评奖学金的时候，成绩往往是最重要的，之后还有参与活动分，志愿服务分等等，他们的权重又低一点。因此，在实际的应用中，我们也可以给指标进行赋权，将权重放到计算距离的公式中。如图。带上了权重之后，不同的指标发挥的影响就不一样了，带权重的评价也往往是实际生活中很常见的一种评价方式。那在建模中如何确定权重呢？如果是日常生活向的评价，我们可以使用层次分析法，结合常识给出。如果是比较专业的评价指标，我们可以查询资料，看看别人怎么研究的。还有一种方法叫熵权法，也是这套课程的内容，不过限于篇幅，就留到之后再提吧。局限性TOPSIS法有什么局限性呢？其实也是有的，例如没有数据你就行不通了吧hhh。不过在实际建模中，倒也不必考虑太多的局限性，知道每个模型的适用条件就好了。到时候见招拆招，增删查改，尽力而为就好了。一个没有参加过比赛的小白说这些是不是有点儿不妥……不管了，反正就是碰到什么题用对应的模型，实在不行就试着综合综合，总能有个结果的hhh嗯，就这样，拜拜~作业我把PPT里的题目也放在这里，应该没问题。哔哩哔哩上有作业讲解的。（如果文章有什么错误欢迎指出毕竟我就是个沙雕的小白orz）这两天知乎给我推送了一些数学建模相关的问答，其中一个是数学建模相关书籍。我把高赞回答推荐的书的电子版找了一下，如果需要的话，在微信公众号“我是陈小白”后台回复“数学建模书籍”即可。编辑于 2020-07-19 08:08数学建模赞同 68652 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数学建模笔记一边学习一

数学建模之综合评价模型（层次分析法+Topsis法+熵权法）-CSDN博客

数学建模之综合评价模型（层次分析法+Topsis法+熵权法）

胃口很大的一条小蛇仔

已于 2022-05-10 15:04:09 修改

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于 2022-04-24 23:37:49 首次发布

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以下内容均听自清风老师的建模教程（老师讲的很好哦，大家可以去听听，结合实例不枯燥！）

一，层次分析法

以一道例题进行分析：

小明同学想出去旅游，在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭，北戴河，桂林三个地方

请你确定评价指标，形成评价体系为小明同学选择最佳的方案。

第一步：确定模型

题中出现“确定评价指标，形成评价体系”这类词眼，确定这是一道层次分析题。

第二步：建立层次结构模型

我们从三个问题入手：

1.我们评价的目标是什么？

答：为小明选择最佳的旅游景点。

2.我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？

答：三种。分别是去苏杭，去北戴河，去桂林。

3.评价的准则或者说指标是什么？

答：景色，花费，居住，饮食，交通。

第三个的答案我们可以根据题目中的背景材料，常识，以及网上（知网，百度学术，虫部落-快搜）搜索到的参考资料进行结合，从中筛选合适的指标

第三步：构建权重表格

我们最终的目标就是要填满这个权重矩阵！！！（同颜色的单元格和为1）

重要性表

（1）构建指标之间的判断矩阵：两个指标两个指标进行比较，根据重要性表填写两两比较的结果

1.比较景色和花费的重要程度

答：花费比景色略微重要（景色：花费 = 1：2）

2.比较景色和居住的重要程度

答：景色比居住要重要一点（景色：居住 = 4 ：1）

…………

总共需要比较次

判断矩阵：

上面的矩阵就是层次分析法中的正互反矩阵（我们需要知道正互反矩阵的特点）

（1）aij表示：与 j 相比，i 的重要程度（例如：和居住相比，景色的重要程度是4）

（2）当 i = j 时，两个指标相同，同等重要记为1

（3）aij > 0 && aij x aji = 1

（2）构建每个指标下，方案之间的判断矩阵

1.比较苏杭的花费和北戴河的花费的多少程度

答：北戴河的花销要比苏杭的花销要稍多（北戴河：苏杭 = 3 ：1）

2.比较苏杭的花费和桂林的花费的多少程度

答：桂林的花销要比苏杭的花销要贵的多得多（桂林：苏杭 = 8 ：1）

3.比较北戴河的花花费和桂林的花费的多少程度

答：桂林的花销要比北戴河要稍多（桂林：北戴河 = 3 ：1）

……

判断矩阵：

第四步：对判断矩阵一致性检验（如果判断矩阵已经是一致矩阵，那么就没必要进行一致性检验）

首先介绍一下一致矩阵：

在判断矩阵的前提下，如果各行成比例且各列成比例，那么该矩阵就是一致矩阵

第一步：计算判断矩阵的最大特征值及一致性指标CI

第二步：根据n的大小，按照下表查找平均随机一致性指标RI，计算一致性比例CR

第三步：判断判断矩阵的一致性是否小于0.1

结论：如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。修正的方法：往一致矩阵上去凑（各行各列成比例）

第五步：计算判断矩阵的权重（算术平均法，几何平均法，特征值法三种最好都用上）

（1）算术平均法求权重

第一步：将判断矩阵按照列归一化（每个元素除以其所在列的和)

第二步：将归一化的各列相加（按行求和）

第三步：将相加后得到的向量中的每个元素除以n即可得到权重向量

（2）几何平均法求权重

第一步：将判断矩阵按行相乘得到一个新的列向量

第二步：将该列向量中的每个元素开n方

第三步：对开方后的列向量进行归一化处理（列向量中的每个元素除以该列的和）

（3）特征值法求权重

第一步：求出矩阵的最大特征值以及对应的特征向量

第二步：对最大特征值对应的的特征向量进行归一化处理即可得到我们的权重

第六步：构建最终的权重表，将特征值法计算出的结果填入对应的颜色项中

第七步：计算得分

苏杭得分 = 0.2636*0.5954 + 0.4758*0.0819 + 0.0538*0.4286 + 0.0981*0.6337 + 0.1087*0.1667 = 0.29926

……

用excel进行计算：

B这一列一定要锁住（shift+f4），计算的才是正确的

结果：

二，Topsis模型（优劣距离法）

还是以一道例题为例：

已知：25条河流水质量各指标的数据，其中含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10~20之间最佳。请评价下列20条河流的水质情况

第一步:将原始矩阵正向化处理（将所有的指标类型统一转换为极大型指标）

四种最常见的指标分类：

极小型指标——>极大型指标的公式：

= max{，……}-

中间型指标——>极大型指标的公式：

设{}是一组中间型指标序列，最佳的数值是，那么

M = max{||}

区间型指标——>极大型指标的公式：

设{}是一组区间型指标序列，最佳的区间是【a,b】，那么

M = max{a-min{Xi}，max{Xi}-b}

第二步：对正向化后的矩阵进行标准化处理（消除不同量纲之间的影响）

假设有n个评价对象，m个评价指标的正向化矩阵如下:

将标准化矩阵记为Z，(每一个元素 / 其所在列的元素平方和再开方)

第三步：计算得分并归一化处理

假设有n个评价对象，m个评价指标的标准化矩阵如下:

Zij表示第i个同学的第j个指标

最大值 = max{,,……，}

= max{max{,,……}，……，max{,,……}}

最小值= min{,,……，}

= min{min{,,……}，……，min{,,……}}

第 i (i=1，2，3，……，n)个评价对象与最大值的距离： =

第 i(i=1，2，3，……，n）个评价对象与最小值的距离：=

那么，我们就可以得出第i个评价对象未归一化处理的得分：

(越小，Si越接近最大值1)

然后对得分进行归一化处理（这一列的每个元素除以该列元素总和），得到第i个评价对象的最终得分。

基于熵权法的Topsis模型

依据的原理：指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（例如：对于所有的样本，这个指标都是相同的数值，那么我们可认为这个指标的权值为0，即这个指标对于我们的评价不起任何帮助）

如何衡量信息量的大小：

越有可能发生的事（概率越大），信息量越少

越不可能发生的事（概率越小），信息量越大

所以，我们可以用概率来衡量信息量的大小

假设x表示事件X可能发生的某种情况，p(x)表示这种情况发生的概率

他们之间的关系是：I(x) = -ln(p(x))，因为0<=p(x)<=1，所以I(x)>=0

如果事件X可能发生的情况分别为x1,x2,……，xn，那么我们可以定义事件X的信息熵(对信息量的期望值)为：

定理：当p(x1) = p(x2) = …… = p(xn) = 时，H(X)取最大值，最大值为Inn

第一步和第二步和上述的Topsis法一样

第三步：如果标准化后的矩阵中存在负数，则需要对正向化矩阵X实行另一种标准化的方法，其公式为：

这样标准化后的矩阵就能将每个值囊括在[0,1]之间

第四步：计算概率矩阵，即计算第j个指标下第i个样本所占的比重

第五步：计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权

对于第j个指标而言，计算信息熵的公式为：

信息效用值的公式为:

之后，对信息效用值进行归一化处理，就能得到每个指标的权重：

第六步：计算得分并归一化处理（和Topsis的第三步略有不同！！！）

假设有n个评价对象，m个评价指标的标准化矩阵如下:

Zij表示第i个同学的第j个指标

最大值 = max{,,……，}

= max{max{,,……}，……，max{,,……}}

最小值= min{,,……，}

= min{min{,,……}，……，min{,,……}}

第 i (i=1，2，3，……，n)个评价对象与最大值的距离：

第 i(i=1，2，3，……，n）个评价对象与最小值的距离：

那么，我们就可以得出第i个评价对象未归一化处理的得分：

(越小，Si越接近最大值1)

然后对得分进行归一化处理（这一列的每个元素除以该列元素总和），然后得到第i个评价对象的最终得分。

在写代码中可能会出现的两个问题：

1.你可能导入数据集类型错误，重新导入数据集并在导入时更改类型为数值矩阵（原本为table）

2.如果出现未定义Positivization()的情况，请将该函数所在文件夹路径复制粘贴到matlab中，将其变为当前文件夹！！！

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数学建模之综合评价模型（层次分析法+Topsis法+熵权法）

以下内容均听自清风老师的建模教程（老师讲的很好哦，大家可以去听听，结合实例不枯燥！）以例题进行分析：小明同学想出去旅游，在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭，北戴河，桂林三个地方请你确定评价指标，形成评价体系为小明同学选择最佳的方案。第一步：确定模型当题中出现“确定评价指标，形成评价体系”这类词眼，这就是一道层次分析题。第二步：建立递接层次结构模型我们从三个问题入手： 1.我们评价的目标是什么？答：为...

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专栏目录

基于DEA交叉评价的模糊综合评价模型及其应用

01-14

借鉴数据包络分析(DEA) 交叉评价的思想, 首先将评价系统内的指标分为量化指标和非量化指标, 在定义
平均交叉效率、最小交叉效率和最大交叉效率概念的基础上, 采用交叉评价方法对量化数据进行处理; 然后对最小
交叉效率值、平均交叉效率值和最大交叉效率值进行模糊化, 模糊化之后将其作为模糊综合评价的指标与非量化指
标一起进行二次评价, 以建立基于DEA交叉评价的模糊综合评价模型; 最后通过评价实例验证了所提出的模型在处
理客观数据与主观因素并存的多属性决策中的客观性和全面性.

数学建模评价类算法工具箱-不用写代码直接运行

08-02

这个是针对数学建模的评价类算法工具箱，工具箱有多种评价方法，包括层次分析法、TOPSIS法，熵权法、变异系数法、CRITIC法、主成分分析法、随机TOPSIS法、随机层次分析法-TOPSIS法、层次-熵权法、层次-变异系数法等多种综合评价方法，MATLAB2020以上或以下两个版本都有，安装方法已经附上，在MATLAB中导入数据可直接运行，免调试代码

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数学建模几种常见的综合评价方法

weixin_71158509的博客

01-17

581

例如，对于某一景点，可以计算其风景优美程度相对于其他指标的关联度，历史文化价值相对于其他指标的关联度，交通便利程度相对于其他指标的关联度，并综合计算得出综合评价结果。例如，可以计算产品的尺寸精度与标准值的接近度，材料强度与标准值的接近度，外观与标准值的接近度，并综合计算得出产品的综合评价结果。例如，可以计算销售额指标的熵值和权重，市场份额指标的熵值和权重，品牌形象指标的熵值和权重，并通过熵权综合计算得出产品的综合评价结果。然后，可以根据主成分的权重和得分计算，得出汽车的综合评价结果。

数学建模综合评价模型

07-26

数学建模综合评价模型

层次分析法和熵权法.zip

07-04

层次分析法+模糊综合评价法内容分析，提供MATLAB代码，有需要滴滴。

主要内容：

（1）层次分析法

（2）模糊综合评价法

数学建模笔记（七）：综合评价模型

qq_52441682的博客

07-06

1万+

代表性，也就是这一指标的区分度，最具代表性就是对观测记录最具区分度

强调通行能力前后的变化

主观评价要量化，无法避免主观因素

f(3)f(3)f(3)使用了两次，其实有四个式子，才解出了四个量

即便是属于同一个类中，依然有差异，不可一概论之，直接使用定常权综合评价法是不合理的，所以引入了动态加权综合评价方法

知乎——灰色关联分析......

评价类模型---TOPSIS法

qq_51408826的博客

07-25

8614

TOPSIS法

统一指标类型

标准化处理

我们根据例子让大家更好的知道应该如何计算

总结

第一步：将原始矩阵正向化

第二步：正向化矩阵标准化

第三步：计算得分并归一化

练习题

模型的扩展

代码运行的几个问题

基于熵权法对TOPSIS模型的修正

熵权法的步骤...

基于熵权法的Topsis模型（清风数学建模课后笔记）

数学建模系列---Topsis优劣解距离法-CSDN博客

数学建模系列---Topsis优劣解距离法

最新推荐文章于 2023-08-09 10:43:54 发布

cm959

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一.前言

二.实现步骤

2.1 正向化评价矩阵X

2.2标准化矩阵

2.3计算得分且归一化

三.说明

一.前言

1.什么时候要用Topsis？

求解评价类问题时会用到topsis法，且题干以给出相关数据。

2.topsis与层次分析法的区别？

当决策层数据过多时，用层次分析法会特别麻烦。

层次分析法不可以利用题干给出的决策层相关数据，而topsis可以。

3.topsis的概念是什么？

先看一下百度百科的解释：

TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。

TOPSIS的中文名为：优劣解距离法，从其名可得两个重要信息：优劣解、距离。

那么topsis算法的核心正是这两点，举个例子：

NBA要对5名球星：科比、詹姆斯、哈登、巴特勒、杜兰特进行综合实力评估。评估的指标体系是：三分命中率罚球命中率场均助攻数场均失误数场均得分数。即用这5个指标来综合评估球员实力，虚拟数据如下：

如表所示，场均得分数该列指标有5个数据，最优解为：36，最劣解：21，若要利用topsis法对球员的场均得分数这一指标进行评分，评分的依据是：得分数距离最优解36越近，则打分越高，距离最劣解21越近，则打分越低。所以詹姆斯的评分应最高，杜兰特则最低。在此处只是简单解释topsis的原理，具体实现步骤后文会详细阐明。

二.实现步骤

假设有n个要评价的对象，m个评价指标构成的矩阵如下：

2.1 正向化评价矩阵X

对常见4种指标的说明如下表所示：

我们的评价矩阵X中的各指标可能不同属于一个指标类型，例如上面的球员数据表，场均得分数为正向（极大型）指标，场均失误数为负向（级小型）指标，那我们需要将不同类型的指标统一为正向（极大型）指标，对于不同类型的指标，对其正向化的方法不同。

极小型指标 -- >极大型指标

max-x或者1/x（无负数时）中间型指标 -->极大型指标

公式区间型指标--极大型指标直接看清风老师的课件，如下图所示：

2.2标准化矩阵

通过上一步的处理，我们得到了矩阵Z

现在对经过正向化处理的矩阵Z进行标准化：每个元素除以该元素所在列的和。

标准化的目的：消除各指标量纲的影响

2.3计算得分且归一化

思路：求出各列元素的优、劣解，然后计算各元素与之的距离，然后代入公式求得分。

先求出各列元素的优、劣解

定义最优解（最大值）为：

定义最劣解（最小值）为：

分别定义第个评价对象与最大、小值的距离为：

此时我们以求出各评价对象距离优劣解的距离，接下来利用公式来求得分

显然是属于【0,1】的，因为两个距离都为正值，并且可以看出距离最优值越近，则越小，越大，这也正符合我们之前的分析。

接下来对归一化：，此时各得分之和等于1.

现在我们就求出了各个评价对象的评分！

三.说明

（1）比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）

（2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。

（3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标： GDP增速。所以优劣解不取理论值，而在样本范围内找max min.

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数学建模系列---Topsis优劣解距离法

一.前言 1.什么时候要用Topsis？求解评价类问题时会用到topsis法，且题干以给出相关数据。 2.topsis与层次分析法的区别？当决策层数据过多时，用层次分析法会特别麻烦。层次分析法不可以利用题干给出的决策层相关数据，而topsis可以。 3.topsis的概念是什么？先看一下百度百科的解释：TOPSIS （Technique for Order Preference ...

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专栏目录

TOPSIS法（优劣解距离法）例子源码和拓展资料

11-09

该文件是全国大学生数学建模知识中的一个算法Topsis优劣解距离法的源码和建模赛题拓展资料，具体的讲解内容可以参考本人博客【优劣解距离法】

综合评价算法的对比分析

fs01234的博客

04-02

3058

近来，看了一些综合评价算法的资料，这里面包含熵值法、TOPSIS法、层次分析法、模糊综合评价法。综合评价，顾名思义，就是对一些已有的评价结果进一步综合评价，进而得出具有决策意义结果的算法。

首先，说一下熵值法，以汽车综合评分为例，需要先获得每辆车在油耗、功率、费用等方面的评分，没有这个后面一些都是扯。熵值法要实现的就是通过对下面这个评分矩阵的分析，得出油耗、功率、费用等因素的权值（重要度），这个权值对于所有车都是一样的。之后，利用权值和每辆车在各个方面的评分就可以得到每辆车的综合评分结果，从而选出最优方案。

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数学建模评价类模型：优劣解距离法(TOPSIS法)

smlyor的博客

09-27

674

数学建模评价类模型：优劣解距离法(TOPSIS法)求解步骤

综合评价与决策方法一：优劣解距离法（TOPSIS法）

weixin_53972936的博客

02-11

1万+

1.TOPSIS方法简介

前文所讲的层次分析法和熵权法主要用来确定每个指标在每个方案中所占权重，在得到权重后与每个指标对应的值求积再求和就能得到每个方案的综合评分，因此也可以用来进行评价。但是其也有各自的局限性，例如层次分析法主观性太强并且方案层不能太多，否则很难通过一致性检验，而熵权法就只适用于计算权重，其所得评价结果也具有一定局限性。

而TOPSIS是一种综合评价方法，可以弥补层次分析法的一些缺点：

（1）优劣解距离法可以充分利用原始数据信息，且其结果能充分反应各...

数学建模中各种评价类模型的优点和缺点总结

qq_54186956的博客

07-14

1万+

数学建模中，评价类模型是一类比较基础的数学模型之一，往往是对应生活中的一些实际问题。最常见的数学模型包括：层次分析法、模糊综合评价、熵值法、TOPSIS法、数据包络分析、秩和比法、灰色关联法。......

数学建模day1 层次分析法与TOPSIS方法

qq_44301515的博客

01-29

1万+

概念：

一、步骤

1、建立递阶层次结构模型

2、构造出各层次中的所有判断矩阵

3、层次单排序及一致性检验

4、...

优劣解距离法（TOPSIS）法

weixin_46614598的博客

09-15

2696

TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

评价模型（一）层次分析法（AHP）,熵权法，TOPSIS分析及其对应 PYTHON 实现代码和例题解释

评价类模型之优劣解距离法（TOPSIS) - 知乎

评价类模型之优劣解距离法（TOPSIS) - 知乎首发于数学建模常用模型切换模式写文章登录/注册评价类模型之优劣解距离法（TOPSIS)SPSSPRO已认证账号当你得知自己这次期末考试的成绩为 96 分，乍一看觉得分数不错，但是问了一圈之后发现这次的题比较简单，大家普遍都得了高分，那你如何知道自己的成绩在班级中到底是好还是不好呢？按照常理我们通常会直接对成绩进行一个排名然后观察自己的分数在班级的哪个水平，但这种评价方法只能给出一个方向的情况，只要保证排名不变，即使随意修改成绩，评分也不会发生改变。而优劣解距离法（TOPSIS）的原理就是找出班上最高分和最低分，然后计算自己的分数和这两个分数之间的差距，从而得到自己分数好坏的一个客观评价。距离最高分越近，那么评价情况越好，距离最低分越近，那么评价情况越糟。1 优劣解距离法（TOPSIS）简介1.1 概念TOPSIS 法是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行1.2 适用范围评价对象得分，且各个指标值已知。1.3 模型基本步骤1.31 将原始数据矩阵正向化。也就是将那些极小型指标，中间型指标，区间型指标对应的数据全部化成极大型指标，方便统一计算和处理。1.32 将正向化后的矩阵标准化。也就是通过标准化消除量纲的影响。1.33 计算每个方案各自与最优解和最劣解的距离1.34 根据最优解与最劣解计算得分并排序2 案例介绍及操作为了客观地评价各风景地点的性价比，根据风景、人文、拥挤程度、票价等因素对各风景地点进行评估。风景和人文越高越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）拥挤程度和票价越少越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）2.1 原始数据同趋势化（一般选择指标正向化）对于极小型指标：\begin{split} & \quad&x'=M-x \end{split}对于中间型指标：x'=\left\{ \begin{split} &2\frac{x-m}{M-m},\qquad &m\le x\le\frac12(M+m)\\ &2\frac{M-x}{M-m},&\frac12(M+m)\le x\le M \end{split} \right.对于区间型指标：x'=\left\{ \begin{split} &1-\frac{a-x}{a-a^*}\qquad &x\lt a \\ &1&a\le x\le b\\ &1-\frac{x-b}{b^*-b}&x\gt b \end{split} \right.将极小型指标拥挤程度和票价正向化后得：2.2 构建标准化矩阵对该元素除以所在列的平方和再开根号：经过标准化后得到：例如A景区的风景该指标，我们使用公式 Z_{11}=\frac{4}{\sqrt{4^{2}+7^{2}+5^{2}+6^{2}+8^{2}}}=0.29 2.3 计算各评价指标与最优及最劣向量之间的差距定义第i个评价对象与最大值的距离：定义第i个评价对象与最小值的距离：其中w_j 为第j个属性的权重（重要程度），指标权重可以使用熵权法或者层次分析法等方法确认。D+和D-值的实际意义：评价对象与最优或最劣解的距离，值越大说明距离越远，研究对象D+值越大，说明与最优解距离越远；D-值越大，说明与最劣解距离越远。最理解的研究对象是D+值越小同时D-值越大。对于上述数据，最大值【0.58，0.68，0.77，0.73】,最小值【0.29，0.14，0，0】,得到如下数据：例如计算A景区的正理想解距离（D+）：D_{A}^{+}=\sqrt{(0.58-0.29)^{2}+(0.68-0.34)^{2}+(0.77-0.77)^{2}+(0.73-0.73)^{2}}=0.43 2.4 评价对象与最优方案的接近程度D-值相对越大，则说明该研究对象距离最劣解越远，则研究对象越好；C值越大，表明评价对象越优由上表可知，景点 A 的综合评价最高，说明综合评估风景、人文、拥挤程度、票价后，景点 A 的性价比较高，距离负理想解相对远，距离正理想解相对近。其次是D、E、C、B。3 案例工具实现3.1 使用工具SPSSPRO—>【综合评价（优劣解距离法（TOPSIS））】3.2 案例操作Step1：新建分析；Step2：上传数据；Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；step4：选择【优劣解距离法（TOPSIS）】；step5：查看对应的数据数据格式，【优劣解距离法（TOPSIS）】要求特征序列为定量变量，分为正向指标变量和负向指标变量，且正向指标变量和负向指标变量的个数之和大于等于两项。step6：设置变量权重（熵权法、不设置权重）。step7：点击【开始分析】，完成全部操作。3.3 分析结果解读以下生成的结果来源于SPSSPRO软件的分析结果导出输出结果 1：指标权重计算熵权法的权重计算结果显示，风景的权重为 25.786%、人文的权重为 22.684%、拥挤程度的权重为 25.737%、票价的权重为 25.793%，其中指标权重最大值为票价（25.793%），最小值为人文（22.684%）。输出结果 2：TOPSIS 评价法计算结果由上表可知，景点 A 的综合评价最高，说明综合评估风景、人文、拥挤程度、票价后，景点 A 的性价比较高，距离负理想解相对远，距离正理想解相对近。输出结果 3：中间值展示正、负理想解（非距离），此两值分别代表评价指标的最大值，或者最小值（即最优解或最劣解），此两值用于计算D+或D-值使用，此两值大小并无太多意义。注：进行 TOPSIS 分析时，各个指标有着权重属性（当然通常情况并没有），那么可对应设置各个指标的权重（输入的权重值可以为相对数字，SPSSPRO 默认都会进行归一化处理让权重加和为 1），在进行 D+和 D-值计算时，SPSSPRO 会对应乘上权重值（如果没有权重则下述公式中权重值为 1），计算公式如下：对比层次分析法：层次分析法的判断矩阵是通过“专家”评分获取的，主观性强，且n不宜过大。优劣解距离法的指标评分则是现成的，且对较大的m与n同样适用。相较于层次分析法两两比较而言，优劣解距离法不易于发生混淆。4 结论Topsis法避免了数据的主观性，不需要目标函数，不用通过检验，而且能够很好的刻画多个影响指标的综合影响力度，并且对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制，既适于小样本资料，也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便。但是该算法需要每个指标的数据，而对应的量化指标选取会有一定难度，同时不确定指标的选取个数为多少适宜，才能够去很好刻画指标的影响力度5 参考文献[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.[2] Shih H S, Shyur H J, Lee E S. An extension of TOPSIS for group decision making[J]. Mathematical & Computer Modelling, 2007, 45(7):801-813.[3] 刘浩然,汤少梁. 基于 TOPSIS 法与秩和比法的江苏省基本医疗服务均等化水平研究[J]. 中国全科医学,2016,19(7):819-823. DOI:10.3969/j.issn.1007-9572.2016.07.017.编辑于 2022-03-11 11:40spss软件数据模型权重赞同 959 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数学建模常用模型通过案例分享快速了解数学建

TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现 - 知乎

TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现 - 知乎首发于11111切换模式写文章登录/注册TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现子木程序在公众号(不更新推文，不发广告)：一个安静的资料号写在前面：个人理解：针对存在多项指标，多个方案的方案评价分析方法，也就是根据已存在的一份数据，判断数据中各个方案的优劣。中心思想是首先确定各项指标的最优理想值(正理想值)和最劣理想值(负理想解)，所谓正理想值是一设想的最好值（方案），它的的各个属性值都达到各候选方案中最好的值，而负理想解是另一设想的最坏的值（方案），然后求出各个方案与正理想值和负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各方案与最优方案的接近程度，作为评价方案的优劣标准，最后得到各个方案的优劣值。目录一、TOPSIS算法1.1 TOPSIS算法的原理1.2 TOPSIS算法的实现二、数据预处理2.1 数据正向化处理2.1.1对于极小型指标的正向化处理2.1.2 对于中间型指标的正向化处理2.1.3对于区间型指标的正向化处理2.2数据标准化处理三、TOPSIS算法实现3.1最优解与最劣解计算3.2 TOPSIS评分计算四、TOPSIS算法总结4.1 TOPSIS算法实现步骤五、TOPSIS算法示例与扩展5.1 TOPSIS算法示例5.2 TOPSIS算法扩展六、程序源码如有专业问题或者需要仿真可以点下面付费咨询链接。一、TOPSIS算法1.1 TOPSIS算法的原理TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。为了对众多方案给出一个排序，在给出所有方案之后，可以根据这些数据，构造出一个所有方案组成的系统中的理想最优解和最劣解。而TOPSIS的想法就是，通过一定的计算，评估方案系统中任何一个方案距离理想最优解和最劣解的综合距离。如果一个方案距离理想最优解越近，距离最劣解越远，我们就有理由认为这个方案更好。那理想最优解和最劣解又是什么呢？很简单，理想最优解就是该理想最优方案的各指标值都取到系统中评价指标的最优值，最劣解就是该理想最劣方案的各指标值都取到系统中评价指标的最劣值。理想最优解中的数据都是各方案中的数据，而不要选择方案中没有的数据，理想最劣解同理。如何衡量某一个方案与理想最优解和最劣解的综合距离呢？TOPSIS基本思想是用下面这个表达式进行衡量：\frac{某一方案-最劣解}{理想最优解-最劣解} 可以发现，如果方案取到了理想最优解，其表达式取值为1；如果方案取到了理想最劣解，其表达式取值为0。我们便可以用这个表达式来衡量系统中某一个方案距离理想最优解和最劣解的综合距离，也直接用它给方案进行打分。当然这个公式只是一个基本的思路，实际上，为了更准确与合理，会对该公式进行优化。1.2 TOPSIS算法的实现在了解TOPSIS算法的基本思想后就是对相应参数的计算了，从上面的描述可以知道，除了要对该公式进行改进之外，因为涉及到数据之间的比较，还需要对方案数据进行处理，消除量纲以及范围太大带来的一系列问题。二、数据预处理2.1 数据正向化处理在处理数据时，有些指标的数据越大越好，有些则是越小越好，有些又是中间某个值或者某段区间最好。我们可以对其进行“正向化处理”，使指标都可以像考试分数那样，越大越好。将指标分为四类，如下表所示。四类指标类型正向化处理，就是将上述的四种指标数据进行处理，将其全部转化为极大型指标数据，这样我们计算时问题就少一点，码代码时也更加统一。2.1.1 对于极小型指标的正向化处理例如费用，我们可以用将其转化为极大型，如果所有元素都为正数，也可以使用2.1.2 对于中间型指标的正向化处理如果其最佳数值是 x_{best} ，我们可以取 M=max\left\{ |x_{i}-x_{best}| \right\} ，之后按照转化。PH值正向化处理2.1.3 对于区间型指标的正向化处理对于区间型指标，如果其最佳区间是[a,b]，我们取M=max\left\{ a-min\left\{ x_{i} \right\}, max\left\{ x_{i} \right\}-b\right\}，之后按照转化，示例如下。区间型指标正向化处理至此，已将所有的数据都转化为极大型数据了。2.2 数据标准化处理为了消除不同的数据指标量纲的影响，我们还有必要对已经正向化的矩阵进行标准化。在概率统计中，标准化的方法一般是 \frac{X-EX}{\sqrt{DX}} ，不过这里我们不采用。记标准化后的矩阵为Z，其中 z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_{ij}^{2}}}} ，也就是 \frac{每一个元素}{\sqrt{其所在列的元素的平方和}} 。对数据进行了相应的处理后，可以用向量z_{i}来表达第i个方案。假设有n个待评价的方案，m个指标，此时 z_{i}=[z_{i1},z_{i2},...,z_{im}] 。由这n个向量构成的矩阵也就是我们的标准化矩阵Z了。经过了正向化处理和标准化处理的评分矩阵Z，里面的数据全部是极大型数据。三、TOPSIS算法实现3.1 最优解与最劣解计算经过了正向化处理和标准化处理的评分矩阵Z，里面的数据全部是极大型数据。我们就可以从中取出理想最优解和最劣解。因此我们取出每个指标，即每一列中最大的数，构成理想最优解向量，即同理，取每一列中最小的数计算理想最劣解向量：z^{+}就是 z_{max} ， z^{-} 就是 z_{min} 。在得到理想最优解和理想最劣解的基础上就能计算每个方案的评分了。根据上面的距离评分公式：对其进行变型，也就是：变型的目的是为了使用欧几里得距离来衡量两个方案的距离，变形前后分母的计算结果其实是不同的(因为这里zi是一个向量)。这样更能体现出是综合距离。否则所有方案计算得分时分母都是相同的，相当于只衡量了分子，也就是距离最劣解的距离。3.2 TOPSIS评分计算于是计算距离评分：对于第i个方案zi，我们计算它与最优解的距离：与最劣解的距离：定义第i个方案的评分为Si：也就是前面提到的综合距离。0\leq S_{i} \leq 1，且 d_{i}^{+} 越小，也就是该方案与最优解的距离越小时，S_{i} 越大；相应的，d_{i}^{-}越小，也就是该方案与最劣解的距离越小时， S_{i} 越小。为同时兼顾了该方案与最优解与最劣解的距离的评分。这个时候我们就有了每个方案的分数了，按分数排排序，就知道哪个方案比较好哪个方案比较差。四、TOPSIS算法总结4.1 TOPSIS算法实现步骤1.将原始数据矩阵正向化。也就是将那些极小性指标，中间型指标，区间型指标对应的数据全部化成极大型指标，方便统一计算和处理。2.将正向化后的矩阵标准化。也就是通过标准化消除量纲的影响。3.计算每个方案各自与最优解和最劣解的距离：与最优解的距离：与最劣解的距离：4.根据最优解与最劣解计算得分并排序五、TOPSIS算法示例5.1 TOPSIS算法示例对一个需要根据学生智商和情商进行排名的数据：原始数据矩阵如下对其进行正向化：对其进行标准化：计算与最优解和最劣解的距离：最后计算得分给出排名：这个例子告诉我们，成绩很重要，但是情商更重要。小王虽然只考了60分，但也及格了，而且他从不与人争吵，所以我们可以给他一个最好的评价。5.2 TOPSIS算法扩展从上面计算各自与最优解和最劣解的距离时，我们看到，每一项指标的权重是一样的。在实际问题中，不同的指标重要程度可能是不一样的。例如评奖学金的时候，成绩往往是最重要的，之后还有参与活动分，志愿服务分等等，他们的权重又低一点。因此，在实际的应用中，我们也可以给指标进行赋权，将权重放到计算距离的公式中。考虑权重后，不同指标对最后的影响不一样，考虑权重的评价往往是实际生活中很常见的一种评价方式。关于权重的选取也有不同的方法，比如层次分析法(主观给出)、熵权法等等。六、程序源码TOPSIS.m程序clear all

clc

%% 导入数据

% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X

% （2）双击进入X，输入或拷贝数据到X

% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件

% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。

load data_water_quality.mat

%% 数据预处理_正向化

[n,m] = size(X);

disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])

Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);

if Judge == 1

Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如[2,3,6]： '); %[2,3,4]

disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')

Type = input('例如[1,3,2]： '); %[2,1,3]

% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量

for i = 1 : size(Position,2)%对每一列进行正向化处理

X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));

% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))

% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）

% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列

% 返回值返回正向化之后的指标

end

disp('正向化后的矩阵 X = ')

disp(X)

end

%% 数据预处理_标准化

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);

disp('标准化矩阵 Z = ')

disp(Z)

%% 指标权重赋值

disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")

Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');

if Judge == 1

disp(['有多少个指标就输入多少个权重数(权重和为1)，如[0.25,0.25,0.5]']);

weigh = input(['请输入输入' num2str(m) '个权重: ']);

if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。

else

weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');

end

else

weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m

end

%% 计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量

D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量

S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分

disp('最后的得分为：')

stand_S = S / sum(S)% 归一化的得分

[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')%对得分进行排序并返回原来的位置

plot(sorted_S,'r-o')

xmin=1;xmax = size(sorted_S,1);

ymin = 0;ymax = max(sorted_S)+min(sorted_S);

axis([xmin xmax ymin ymax]); % 设置坐标轴在指定的区间

grid on

xlabel('方案');ylabel('分数');%坐标轴表示对bai象标签

title('TOPSIS算法最终评分排序')正向化处理函数Positivization.m程序function [posit_x] = Positivization(x,type,i)

% 输入变量有三个：

% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量

% type：指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）

% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列

% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量

if type == 1 %极小型

disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )

posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化

disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 2 %中间型

disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )

best = input('请输入最佳的那一个值(中间的那个值)： ');

posit_x = Mid2Max(x,best);

disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 3 %区间型

disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )

a = input('请输入区间的下界： ');

b = input('请输入区间的上界： ');

posit_x = Inter2Max(x,a,b);

disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

else

disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')

end

end以下面这个例子为例：首先导入数据，然后运行程序，结果如下：编辑于 2022-04-18 21:54排序算法人工智能算法决策理论赞同 31814 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录1111111

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